Главный вектор момента количества движения системы. Теоремы об изменении количества движения точки и системы

По определению количеством движения системы называется вектор

Поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона

и в силу соотношения (5)

Это утверждение называется теоремой об изменении количества движения (импульса) системы:

Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех действующих на систему внешних сил.

Проектируя равенство (7) на любую неподвижную ось , получаем

где - проекция на ось вектора , а - проекция на нее вектора .

Если система замкнута, то по определению на ее точки не действуют внешние силы, , т. е.

(9)

Тем самым устанавливается закон сохранения количества движения: При движении замкнутой системы количество движения (импульс) системы не меняется.

Это утверждение справедливо, разумеется, и для системы, на которую действуют внешние силы, если .

Из равенства (8) следует, что если , то , т. е. что у любой системы проекция количества движения на некоторую ось не изменяется во время движения, если главный вектор внешних сил системы перпендикулярен этой оси.

Теореме об изменении количества движения и закону сохранения количества движения можно придать иную форму, если ввести понятие о центре инерции системы.

Центром инерции системы называется геометрическая точка

С пространства, определяемая радиусом-вектором

Величина называется массой системы.

Во время движения точек системы меняются , а значит, меняется и , т. е. при движении точек системы движется и ее центр инерции. Траекторией центра инерции служит геометрическое место (годограф) концов векторов , а скорость точки С направлена по касательной к этому годографу и определяется равенством

которое получается дифференцированием равенства (10) по .

Из равенства (11) следует, что

т. е. что количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра инерции.

Из теоремы об изменении количества движения следует тогда

Но равенство (13) выражает второй закон Ньютона для материальной точки, помещенной в центре инерции и движущейся вместе с ним, если масса этой точки равна М и если к ней приложена сила . Отсюда следует, что теорему изменении количества движения можно сформулировать так:

При движении системы материальных точек ее центр инерции движется так, как двигалась бы материальная точка, помещенная в центре инерции, если бы в ней были сконцентрированы массы всех точек системы и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на точки системы.

В такой формулировке теорему об изменении количества движения называют теоремой о движении центра инерции.

У замкнутых систем и

(14)

Поэтому закон сохранения количества движения можно сформулировать так: центр инерции замкнутой системы движется с постоянной скоростью (быть может, равной нулю).

Разумеется, это утверждение верно и для проекций соответствующих векторов. Если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось тождественно равна нулю, то центр инерции движется так, что проекция скорости центра инерции на эту ось остается постоянной.

Далее иногда будет удобно вводить в рассмотрение вспомогательную систему отсчета, которая движется поступательно и начало которой помещено в центр инерции системы. Такую систему отсчета будем называть далее центральной. В том случае, когда скорость центра инерции постоянна, центральная система является инерциальной.

Количество движения системы, как векторная величина, определяется формулами (4.12) и (4.13).

Теорема. Производная от количества движения системы по времени равна геометрической сумме всех действующих на нее внешних сил.

В проекциях декартовые оси получим скалярные уравнения.

Можно записать векторное

(4.28)

и скалярные уравнения

Которые выражают теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов за тот же промежуток времени. При решении задач чаще используются уравнения (4.27)

Закон сохранения количества движения

Теорема об изменении кинетического момента

Теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки относительно неподвижного центра равна векторному моменту, действующей на точку силы относительно того же центра.

или (4.30)

Сравнивая (4.23) и (4.30), видим, что моменты векторов и связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы и (рис. 4.1). Если спроектировать равенство на ось , проходящую через центр О, то получим

(4.31)

Это равенство выражает теорему момента количества движения точки относительно оси.

Рис. 4.1.

Теорема об изменении главного момента количества движения или кинетического момента механической системы относительно центра: производная по времени от кинетического момента системы относительно некоторого неподвижного центра равно сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.

(4.32)

Если спроектировать выражение (4.32) на ось , проходящей через центр О, то получим равенство, характеризующее теорему об изменении кинетического момента относительно оси.

(4.33)

Подставляя (4.10) в равенство (4.33) можно записать дифференциальное уравнение вращающегося твердого тела (колес, осей, валов, роторов и т.д.) в трех формах.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Таким образом, теорему об изменении кинетического момента целесообразно использовать для исследования весьма распространенного в технике движения твердого тела, его вращения вокруг неподвижной оси.

Закон сохранения кинетического момента системы

1. Пусть в выражении (4.32) .

Тогда из уравнения (4.32) следует, что , т.е. если сумма моментов всех приложенных к системе вешних сил относительно данного центра равно нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра будет численно и по направлению будет постоянен.

2. Если , то . Таким образом, если сумма моментов действующих на систему внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собой закон сохранения кинетического момента.

В случае вращающегося твердого тела из равенства (4.34) следует, что, если , то . Отсюда приходим к следующим выводам:

Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то , следовательно, и и твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.

Если система изменяема, то . При увеличении (тогда отдельные элементы системы удаляются от оси вращения) угловая скорость уменьшается, т.к. , а при уменьшении увеличивается, таким образом, в случае изменяемой системы с помощью внутренних сил можно изменить угловую скорость.

Вторая задача Д2 контрольной работы посвящена теореме об изменении кинетического момента системы относительно оси.

Задача Д2

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2м) массой кг вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC = b (рис. Д2,0 – Д2,9, табл. Д2); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д2,0а (вид сверху).

В момент времени по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой кг по закону , где s выражено в метрах, t - в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом M (задан в ньютонометрах; при M < 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость т.е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость груза складывается из относительной и переносной скоростей, т.е. . Поэтому и количество движения этого груза . Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика), согласно которой ; эти моменты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения разъяснен в примере Д2.

При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца z), как это сделано на рис. Д2,0,а – Д2,9, а.

Момент инерции пластины с массой m относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс, равен: для прямоугольной пластины со сторонами и

;

Для круглой пластины радиуса R

Номер условия	b	s = F(t)	M
	R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2	-0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5t -0.6t 0.8t 0.4 0.5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

	Рис. Д2.0		Рис. Д2.0а

	Рис. Д2.1		Рис. Д2.1а

	Рис. Д2.2		Рис. Д2.2а

	Рис. Д2.3		Рис. Д2.3а

	Рис. Д2.4
		Рис. Д2.4а

		Рис. Д2.5а
	Рис. Д2.5

	Рис. Д2.6		Рис. Д2.6а

	Рис. Д2.7		Рис. Д2.7а

	Рис. Д2.8		Рис. Д2.8а

	Рис. Д2.9		Рис. Д2.9а

	Рис. Д2

Пример Д2 . Однородная горизонтальная платформа (прямоуголь­ная со сторонами 2l и l), имеющая массу жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угло­вой скоростью (рис. Д2а). В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противо­положно ; одновременно груз D массой , находящийся в желобе АВ в точке С, начинает двигаться по желобу (под действием внутрен­них сил) по закону s = CD = F(t).

Дано: m 1 = 16 кг, т 2 = 10 кг, l = 0,5 м, = 2 , s = 0,4t 2 (s - в метрах, t - в секундах), М = kt, где k =6 Нм/с. Опре­делить: - закон изменения угловой скорости платформы.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плат­формы и груза D. Для определения w применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

(1)

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести реакции и вращающий момент M. Так как силы и параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление (т. е. против хода часовой стрелки), получим и уравнение (1) примет такой вид.

Состоящую из n материальных точек. Выделим из этой системы некоторую точку M j с массой m j . На эту точку, как известно, действуют внешние и внутренние силы .

Приложим к точке M j равнодействующую всех внутренних сил F j i и равнодействующую всех внешних сил F j e (рисунок 2.2). Для выделенной материальной точки M j (как для свободной точки) запишем теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме (2.3):

Запишем аналогичные уравнения для всех точек механической системы (j=1,2,3,…,n) .

Рисунок 2.2

Сложим почленно все n уравнений:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i , (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i . (2.10)

Здесь ∑m j ×V j =Q – количество движения механической системы;
∑F j e = R e – главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему;
∑F j i = R i =0 – главный вектор внутренних сил системы (по свойству внутренних сил он равен нулю).

Окончательно для механической системы получаем

dQ/dt = R e . (2.11)

Выражение (2.11) представляет собой теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме (в векторном выражении): производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему .

Проецируя векторное равенство (2.11) на декартовы оси координат, получаем выражения для теоремы об изменении количества движения механической системы в координатном (скалярном) выражении:

dQ x /dt = R x e ;

dQ y /dt = R y e ;

dQ z /dt = R z e , (2.12)

т.е. производная по времени от проекции количества движения механической системы на какую-либо ось равна проекции на эту ось главного вектора всех действующих на эту механическую систему внешних сил .

Умножая обе части равенства (2.12) на dt , получим теорему в другой дифференциальной форме:

dQ = R e ×dt = δS e , (2.13)

т.е. дифференциал количества движения механической системы равен элементарному импульсу главного вектора (сумме элементарных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему .

Интегрируя равенство (2.13) в пределах изменения времени от 0 до t , получаем теорему об изменении количества движения механической системы в конечной (интегральной) форме (в векторном выражении):

Q — Q 0 = S e ,

т.е. изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно полному импульсу главного вектора (сумме полных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени .

Проецируя векторное равенство (2.14) на декартовы оси координат, получим выражения для теоремы в проекциях (в скалярном выражении):

т.е. изменение проекции количества движения механической системы на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось полного импульса главного вектора (сумме полных импульсов) всех действующих на механическую систему внешних сил за тот же промежуток времени .

Из рассмотренной теоремы (2.11) – (2.15) вытекают следствия:

1. Если R e = ∑F j e = 0 , то Q = const – имеем закон сохранения вектора количества движения механической системы: если главный вектор R e всех внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то вектор количества движения этой системы остается постоянным по величине и направлению и равным своему начальному значению Q 0 , т.е. Q = Q 0 .
2. Если R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0) , то Q x = const – имеем закон сохранения проекции на ось количества движения механической системы: если проекция главного вектора всех действующих на механическую систему сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция на эту же ось вектора количества движения этой системы будет величиной постоянной и равной проекции на эту ось начального вектора количества движения, т.е. Q x = Q 0x .

Дифференциальная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы имеет важные и интересные приложения в механике сплошной среды. Из (2.11) можно получить теорему Эйлера.

§1. Количество движения системы (импульс системы)

Количество движения (импульс тела) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Импульс (количество движения) – одна из самых фундаментальных характеристик движения тела или системы тел.

Запишем II закон Ньютона в другой форме, учитывая, что ускорение Тогда следовательно

Произведение силы на время ее действия равно приращению импульса тела:

Где - импульс силы, который показывает, что результат действия силы зависит не только от ее значения, но и от продолжительности ее действия.

Количеством движения системы (импульсом) будем называть векторную величину , равную геомет­рической сумме (главному вектору) количеств движения (импульсов) всех точек системы (рис.2):

Из чертежа видно, что независимо от величин скоростей точек системы (если только эти скорости не параллельны) вектор может принимать любые значения и даже оказаться равным нулю, когда многоугольник, построенный из векторов , замкнется. Следова­тельно, по величине нель­зя полностью судить о ха­рактере движения системы.

Рис.2. Количество движения системы

§2. Теорема об изменении количества движения (импульса)

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением:

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

§3. Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса)

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следую­щие важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что Q = = const . Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю, то вектор количества движения (импульса) системы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например О x ) равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом Q x = const . Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения (импульса) системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы: при любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы. В более общем случае, когда система незамкнута, из следует, что полный импульс незамкнутой системы не остается постоянным. Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил.

Рассмотрим неко­торые примеры:

а) Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

б) Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное коли­чество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы останется равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

в) Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления бу­дут силами внутренними, и они не могут изменить суммарное коли­чество движения системы ракета - продукты горения топлива. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения, на­правленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Вопросы для самопроверки:

Как формулируется теорема об изменении количества движения системы?

Запишите математическое выражение теоремы об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной форме.

В каком случае количество движения механической системы не изменяется?

Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени? Что характеризует импульс силы?

Чему равны проекции импульса постоянной и переменной силы на оси координат?

Чему равен импульс равнодействующей?

Как изменяется количество движения точки, движущейся равномерно по окружности?

Что называется количеством движения механической системы?

Чему равно количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести?

При каких условиях количество движения механической системы не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

Почему происходит откат орудия при выстреле?

Могут ли внутренние силы изменить количество движения системы или количество движения ее части?

От каких факторов зависит скорость свободного движения ракеты?

Зависит ли конечная скорость ракеты от времени сгорания топлива?

4. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. Переносная и кориолисова сила инерции.

5. Принцип относительности

6. Свободные колебания материальной точки без учета сопротивления

7. Затухающие колебания материальной точки.

8. Вынужденные колебания

9.Момент инерции тела относительно оси.Радиус инерции тела.

11(12).Моменты инерции простых тел относительно главных центральных осей:однородного тонкого стержня,сплошного круглого цилиндра.

12.Диф.Уравнения движения механической системы.

13.Теорема о движении центра масс механической системы.

14. Количество движения материальной точки и механической системы.

15. Элементарный импульс силы и импульс силы за конечный промежуток времени.

16. Теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и в конечной формах.

17. Теорема об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения количества движения.

18. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси.

19. Кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения.

21(22) Диференциальные Уравнения движения твердого тела(поступательного, вращательного и плоскопараллельного движения твердого тела).

33. Физический и математический маятники. Период колебаний. Определение осевых моментов инерции тел.

37. Определение главного вектора и главного момента сил инерции механической системы.

33(36). Главный вектор сил инерции поступательно движущегося тела.

38). Главный вектор и главный момент сил инерции вращающегося тела в двух случаях: ось вращения проходит через центр масс тела и не проходит.

45.Обобщеные силы их вычисление,размерности обобщеных сил

46. Обобщеные силы имеющие потенциал.

47.Условия равновесия системы в обобщеных координатах

39.(49) Уравнение Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Функция Лагранжа (кинетический потенциал).

40.Явление удара.Ударная сила и ударный импульс.Действие ударной силы на материальную точку.

41.Теорема об изменении кол-ва движения мех.Сис. При ударе.

42.Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность;упругий и неупругий удары.Коэфицент

14. Количество движения материальной точки и механической системы.

Кол-вом дв-ия мат/точки наз-ся векторная величина , равная произведению массы на ее скорость (направлен как и ск-ть по касательной).

Кол-вом дв-ия с-мы будем наз-ть векторную величину , равную геометрической сумме (главному вектору) кол-в дв-ия всех точек с-мы:

Кол-во дв-ия с-мы равно произведению массы всей с-мы на скорость ее центра масс:

15. Элементарный импульс силы и импульс силы за конечный промежуток времени.

Элем-ым имп-ом силы наз-ся векторная величина , равная произведению силына элем-ный промежуток времениdt: (направлен вдоль линии действия силы)

Импульс силы за некоторый промежуток времени t 1 равен определенному интегралу от элем-ого импульса, взятому в пределах от 0

16. Теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и в конечной формах.

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия мат/точки в дифф/форме: производная по времени от кол-ва дв-ия точки равна сумме действующих на точку сил:

При t=0 ск-ть , приt 1 ск-ть

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия мат/точки (в кон/виде): изм-ие кол-ва

дв-ия точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

17. Теорема об изменении количества движения механической системы. Закон сохранения количества движения.

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия с-мы в дифф/форме: производная по времени от кол-ва дв-ия с-мы равна геом-ой сумме всех действующих на

с-му внешних сил. На

При t=0 кол-во дв-ия , приt 1 кол/дв :

Т-ма об изм-ии кол-ва дв-ия с-мы в интегр-ой форме: изменение кол/дв с-мы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на с-му внешних сил за тот же промежуток времени.

З-он сох-ия кол-ва дв-ия:

1) Пусть , тогда=const. Если сумма внешних сил, действующих на с-му, равна 0, то вектор кол/движ с-мы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть , тогда=const. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна 0, то проекция кол/движ с-мы на эту ось есть величина постоянная.

18. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси.

Момент кол/дв точки отн-но некоторого центра О наз-ся векторная величина , определяемая равенством(направлен перпен-но

плос-ти, проходящей через и центр О)

Момент кол/дв точки относ-но оси Oz, проходящий через центр О :

19. Кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения.

Главным моментом кол-ств дв-ия (или кин-им моментом) с-мы отн-но данного центра О наз-ся величина , равная геом-ой сумме моментов кол-ств дв-ия всех точек с-мы отн-но этого центра:

Проекция на оси :

У любой точки тела, отстоящей от оси вращения ск-ть , следовательно:

Кин-ий момент вращения тела отн-но оси вращения равен произведению момента инерции тела отн-но этой оси

на угловую скорость тела:

20. кол-вом дв.мат.точки - вектор m υ размерность [кг*м\с]=[Н*с]

Теорема: дифференциал по времени от кол-ва дв.мат.точки равна геометрич.сумме действующей на не сил.

Домножим на dt , : d(mυ). Полный импульс S =домножим на dt получим интегральную конечную форму записи теоремы: m . –Изменение кол-ва дв.мат.точки за некоторый промежуток времени равно геометр.сумме импульсов сил,действующих на точку за тот же промежуток времени. Аналит.форма записи: m m m

(21). Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента.

Т-ма моментов для с-мы: производная по времени от главного момента кол-ств дв-ия с-мы отн-но некоторого неподвижного центра равна сумме моментво всех внешних сил с-мы отн-но того же центра. Проекция на оси:

Закон сохранения кин-ого момента:

"